ECUACIONES LINEALES
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) ecuaciones fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
c) ecuaciones literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).
A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).
Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados eindeterminados.
Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:
El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
15x - 9y = 6
-15x + 20y = 5
Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la 
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
desaparezca al sumar ambas ecuaciones.
Sutituyendo 
por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es 
.
.Texto en negrita'Texto en cursiva
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
donde 
, 
, y 
representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
, , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación
ni en , entonces la ecuación
no contendría dicha incognita.
Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos .
.
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones dode aparezca para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.
por su solución en otras ecuaciones dode aparezca para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.
El sistema de ecuaciones
es equivalente a este otro
El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en 
del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.
Del segundo sistema se deduce que
que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es .
.
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es .
.Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.
Aqui 
y 
son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.
y son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.Ejemplo
Intentemos resolver
La primera ecuación se puede reescribir de la forma
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
Sustituyendo 
por 
en
por en
se tiene que
que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es .
.
Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita
por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita
cuya solución es .
.Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
\\
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right.](http://www.wikillerato.org/images/math/math-b4daf9b08947470816a091c908c8b878.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
\\
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
es:
![\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~1 & ~~1 & -1
\\
~~1 & -1 & -1
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
~~1
\\
-1
\end{array}
</pre>
<p>\right)](http://www.wikillerato.org/images/math/math-9d6156e83361678f19df40db3ecf5638.png "\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~1 & ~~1 & -1
\\
~~1 & -1 & -1
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
~~1
\\
-1
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
![\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & ~~0 & -2
\\
~~0 & -2 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-2
\\
-4
\end{array}
</pre>
<p>\right)](http://www.wikillerato.org/images/math/math-45eb9fde313d2a75f1b05cd42aac6c52.png "\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & ~~0 & -2
\\
~~0 & -2 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-2
\\
-4
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:
![\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & -2 & -2
\\
~~0 & ~~0 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-4
\\
-2
\end{array}
</pre>
<p>\right)](http://www.wikillerato.org/images/math/math-0730ab56aabea929252d49dbf9595acc.png "\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & -2 & -2
\\
~~0 & ~~0 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-4
\\
-2
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2z & = & -4
\\
-2z & = & -2
\end{array}
</pre>
<p>\right.](http://www.wikillerato.org/images/math/math-eb6ec9bc0f3d4f3655e297c2d80271fe.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2z & = & -4
\\
-2z & = & -2
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener 
:
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos
por la solucion de la tercera ecuación ( 
), para obtener:![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2 & = & -4
\end{array}
</pre>
<p>\right.](http://www.wikillerato.org/images/math/math-5c98a4989cffb856e694abe6316e1767.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2 & = & -4
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, , que resolvemos para obtener 
. Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( 
). Esto nos da una ecuación en :
, que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
Método de la matriz inversa
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:
Si 
existe, es decir, si 
es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener:
existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener:
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes y matriz de terminos independientes 
.
y matriz de terminos independientes .Regla de Cramer
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.
de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.
Cuando el sistema de ecuaciones
satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:
![x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots](http://www.wikillerato.org/images/math/math-57a8519773e4de96d9c3194f45f1c4b4.png "x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots")
![\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}
\qquad \qquad](http://www.wikillerato.org/images/math/math-569b5d8f60f1d2e21c769b195d3609c9.png "\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}
\qquad \qquad")
En general
donde 
es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de por la matriz de los terminos independientes, 
.
es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de por la matriz de los terminos independientes, .Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, = \, 2
\\
x \, - \, y \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.](http://www.wikillerato.org/images/math/math-9d7fa2a713677bcaf5cea62fe4a5126f.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, = \, 2
\\
x \, - \, y \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz de los coeficientes es una matriz cuadrada y ![|\mathbf{A}| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & ~~1
\\
1 & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p>](http://www.wikillerato.org/images/math/math-657d3399a3d5de5fef04047646d22644.png "|\mathbf{A}| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & ~~1
\\
1 & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p>")
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
de los coeficientes es una matriz cuadrada y . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:![x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
2 & ~~1
\\
0 & -1
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
1 & 0
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1](http://www.wikillerato.org/images/math/math-cc4c55b2e2b84ec9b768772cbfd55422.png "x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
2 & ~~1
\\
0 & -1
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
1 & 0
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1")
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